Analyse de viabilité des systèmes dynamiques

cours d'été à Orléans

Objectifs

• Ce cours était organisé dans le cadre du réseau 'Eco-Viabilité'; il a eu lieu du 22 au 26 juin 1998 au laboratoire ERMES d'Orléans.
• L'objectif du cours était de fournir les clefs des principaux outils mathématiques et numériques de l'approche viabilité pour l'étude et le contrôle des systèmes dynamiques en s'appuyant sur des exemples et l'outil informatique
• Il s'adressait aux personnes intéressées par les modèles liés aux problèmes économiques, biologiques, démographiques ou environnementaux,

Contenu du cours

1. Motivations

Les questions de viabilité correspondent à l'analyse de la compatibilité entre des contraintes de viabilité (ou plus faiblement de bonne santé) et la dynamique incertaine (mais non stochastique) d'un système. Il s'agit donc d'étudier la pérénité d'un système. L'incertitude en jeu peut être endogène lorsqu'il s'agit d'un processus de décision (contrôle) et elle peut prendre un caractère exogène si elle n'est pas maitrisable à priori. On va donc au delà des notions d'équilibre et de stabilité mais en deçà des problèmes d'optimalité puisque l'on met d'abord en évidence le rôle spécifique de la contingence dans l'évolution. Ce cadre d'analyse trouvent ses racines dans de nombreux problèmes issues des sciences sociales et du vivant.

2. Cadre mathématique

Dans un premier temps, on se place dans le cadre de la théorie du contrôle, à savoir que l'on considère un système dynamique contrôlé du type :

{x}(t)=f(x(t),u(t))

soumis à des contraintes d'état (de viabilité) représentées à ce niveau de généralité par: x(t) appartient à K (le noyau de viabilité)

On introduit par rapport à ce problème :

• Les notions de viabilité et d'invariance.
• Le concept de régulation viable.
• Les concepts de noyaux de viabilité de d'invariance.
• Les algorithmes pour le calcul des noyaux.
• Les autres stratégies pour le maintien de la viabilité (coordination,..).
• Les notions de trajectoires viables lentes et lourdes.
• La notion de temps minimal de crise (ou temps de sortie) comme indicateur d'irréversibilité
• Les liens avec les problèmes d'équilibre, d'atteinte de cible, et de stabilité, de contrôle optimal, ...

Dans un second temps, on introduit l'incertitude exogène qui correspond à une adversité ou une perturbation du système. On se ramène alors à des problèmes de jeux différentiels du type:

{x}(t)=f(x(t),u(t),v(t)),

où v représente l'incertitude à gérer dans le sens où l'on cherche une régulation viable u quelque soit v.

On présente donc :

• Les notions de discriminance et de dominance.
• Les concepts de noyaux associées.
• Les algorithmes pour le calcul de ces noyaux.

3.Outils numériques et exemples

Sur des exemples simples, on illustre les concepts et outils définis précédemment; on insistera sur le calcul des noyaux. Les exemples seront pris dans les domaines d'application suivants:

• Economie de l'environnement,
• Biologie,
• Démographie.

On utilisera sur stations de travail ou sur micro le logiciel Mathematica ainsi que le programme C approximant le noyau de viabilité. Pour un système dynamique donné, on montrera la non-viabilité de certaines trajectoires sous Mathematica.On tracera les frontières intérieures du noyau de viabilité comme solutions d'ODE à préciser.On utilisera l'algorithme C (ou Pascal si micros) sur quelques itérations et on comparera la solution obtenue avec les frontières exactes de Mathematica.On génèrera des solutions viables lentes ou lourdes.

 4. Atelier de modélisation

Durant la semaine, les participants seront invités à présenter différentes problématiques relevant de leurs disciplines ou de leurs expériences de terrain et à analyser et formaliser leurs questions à l'aide des outils " Viabilité ".

Déroulement du cours

Lundi 22 juin

• Matin: Exposé des motivations et rappels sur les systèmes dynamiques et théorie du contrôle (J.P. Aubin, D. Gabay ou Lobry).
• Après-midi: TD utilisation de Mathématica pour les systèmes dynamiques (L.Doyen, C.Mullon, A. Rappaport).

Mardi 23 juin

• Matin: Systèmes dynamiques contrôlés soumis à des contraintes d'état, notions de viabilité et d'invariance, noyaux et régulations viables (L. Doyen).
• Après-midi: TD: Exemple Ressources Renouvelables et Atelier

Mercredi 24 juin

• Matin: Algorithmes pour la Viabilité. (C.Mullon, P. St-Pierre).
• Après-midi: Atelier

Jeudi 25 juin

• Matin: Applications de la viabilité sur les problèmes de cible, de crise, de stabilité, d'optimalité (JP. Aubin et H. Frankowska)
• Après-midi: TD: Autre Exemple risque climatique et crise (L. Doyen) et Atelier

Vendredi 26 juin

• Matin: Viabilité et incertitude exogène dans le cadre des jeux différentiels, noyaux discriminants, leadership. (P. Cardaliaguet).
• Après-midi: TD: Applications sur les exemples déjà vus (P. St-Pierre) et Atelier.

Contacts

Marie-Hélène Durand, IRD, Montpellier

Luc Doyen, CNRS, Université Paris-Dauphine. ()

Christian Mullon, IRD, Orléans